Произвольная аффинная связность в теории поля

Геометрия без заранее выданного маршрута

В 1946 году Шрёдингер сменил исходный ход поздней полевой программы. Вместо прежнего специального случая он взял общую аффинную связность как основную геометрическую структуру. В обычной римановой геометрии связность тесно привязана к метрике: она задаёт, как сравнивать направления в соседних точках, и при стандартных условиях определяется метрикой однозначно. Общая аффинная связность допускает больше степеней свободы. Пространство получает не только правило измерения длин и углов, но и более самостоятельное правило переноса векторов.

Такой выбор был рассчитан на объединение. Если разные части связности удаётся сопоставить с разными физическими полями, геометрический аппарат способен вместить гравитационные, электромагнитные и мезонные величины без механического склеивания отдельных теорий. Слово «способен» здесь решающее. Математическое место для поля ещё не означает, что найдено его верное физическое содержание; природа не обязана принимать каждую аккуратно разложенную тензорную папку.

Шрёдингера интересовала именно общность конструкции. Частный случай может красиво совпасть с желаемым ответом потому, что ограничения уже спрятали трудность в исходных предположениях. Произвольная связность, напротив, заставляет назвать все её компоненты и объяснить, какие из них имеют физический смысл. Цена за свободу понятна: уравнений и возможных интерпретаций становится больше, а путь от геометрии к наблюдаемому явлению — длиннее.

Из каких частей собиралась связность

Связность Шрёдингер разлагал на симметрическую часть, бесследовую часть кручения и векторное кручение. Симметрическая часть связана с тем, как меняется направление при переносе и в привычном гравитационном пределе может напоминать геометрию общей теории относительности. Кручение появляется, когда порядок малых переносов несёт информацию, которую нельзя свести только к кривизне. У кручения имеется часть, исчезающая при свёртке индексов, — бесследовая, и отдельная векторная часть, сохраняющая такой след.

Эта терминология может звучать как склад запчастей, но замысел был достаточно прямым. Разные геометрические фрагменты предполагалось связать с разными полевыми ролями. Тогда вместо самостоятельных уравнений для гравитации, электромагнетизма и мезона можно было бы начать с одного вариационного принципа, а физические поля извлечь как сопряжённые тензорные величины. Вариационный принцип означает, что допустимая конфигурация выбирается требованием стационарности некоторой величины — действия; изменения переменных должны приводить к полевым уравнениям.

При этом сами соответствующие величины в расчёте рассматривались как независимые. Это технически и концептуально важно: метрика, части связности и сопряжённые объекты не выводились друг из друга заранее, а получали отношения из вариации. Бесследовость нужной части обеспечивалась множителем, то есть дополнительной величиной, которая вводится не как новое наблюдаемое поле, а как способ наложить условие на решение. Такой приём привычен в вариационном исчислении, но его наличие напоминает: свобода общей связности требует дисциплины ограничений.

Что обещала полевая схема

Шрёдингер рассчитывал, что гравитационное, электромагнитное и мезонное поля будут определяться через эти сопряжённые тензорные величины. В идеальном варианте такая схема объяснила бы не просто соседство полей в одной записи, а их взаимное происхождение и взаимное действие. Гравитация отвечала бы за геометрическую сторону, электромагнитное поле и мезонное поле возникали бы из иных компонентов общей конструкции, а уравнения связывали бы их без внешнего списка правил.

Это намерение не стоит переводить на язык уже сложившейся квантовой теории поля. В середине 1940-х «мезон» был названием для тогдашней проблемы ядерных сил, а не гарантией того, что любая классическая геометрическая переменная описывает известную частицу. Появление массового полевого уравнения в классической схеме могло быть интересным ориентиром. Но для физического успеха требовались квантование, связь с наблюдаемыми частицами и проверяемые последствия, а не только правильная размерность или узнаваемый вид отдельных членов.

Сам Шрёдингер формулировал ограничение достаточно трезво. При неопределённом лагранжиане классические законы поля, по его мнению, могли мало помочь угадать истинные квантовые законы мезона. Лагранжиан здесь не декоративная формула над страницей, а исходная запись, из которой вариация производит уравнения движения. Если неизвестно, какая именно такая запись верна, то даже стройная классическая конструкция способна вести по нескольким несовместимым направлениям.

Полезная осторожность поздней программы

Отсюда следует двойной статус работы. Как геометрическая программа она расширяла язык теории: общая аффинная связность давала способ разбирать структуру на компоненты, накладывать ограничения и строить уравнения для связанных тензоров. Как физическое объяснение мира эта программа оставалась заявкой, а не итогом. В её пользу нельзя засчитать всё, что хотелось бы получить на финише, только потому, что стартовая геометрия выглядит достаточно вместительной.

Особенно важно различать «поле можно назвать мезонным» и «найдена истинная теория мезона». Первое относится к интерпретации компонента в формальной схеме. Второе требует показать, почему именно этот компонент обладает нужными наблюдаемыми свойствами и как он входит в квантовую физику. Шрёдингер сам не скрывал разрыва между этими ступенями, хотя продолжал искать способ его сократить.

В этом смысле произвольная аффинная связность — не тайный универсальный ключ, который позднее якобы забыли применить. Это серьёзный математический выбор с очень широким набором возможностей и столь же широким бременем доказательства. Поздняя работа Шрёдингера ценна тем, что делает это бремя видимым: единая геометрия начинается с возможности разместить поля, а заканчивается лишь там, где она объясняет их законы и выдерживает сравнение с физикой.