Плотность и ток в волновой механике

Баланс вместо исчезновений

В четвёртом сообщении 1926 года Шрёдингер получил для волновой функции локальное уравнение непрерывности. Его современная запись для частицы без магнитного поля выглядит так: ∂ρ/∂t + div j = 0, где ρ = |ψ|², а j = (ħ/m) Im(ψ*∇ψ). Формула компактна, но не мистична: первое слагаемое описывает изменение плотности в выбранной точке, второе — чистый отток или приток через окружающее пространство.

Полезна обычная аналогия с водой в аквариуме, только без попытки объявить вероятность жидкостью. Если уровень в маленьком объёме падает, причин ровно две: через границу выходит больше, чем входит, либо в модель добавлен источник. В уравнении непрерывности для изолированной задачи источника нет. Плотность не создаётся внутри области из арифметического тумана и не исчезает в соседнем шкафу; изменение полностью учитывается потоком.

Слово «локальный» здесь делает работу, которую нередко прячут за формулой. Недостаточно узнать, что суммарная нормировка сохранена во всём пространстве. Уравнение говорит больше: для каждой области можно проследить баланс через её границу. Это позволяет связывать вид волновой функции с направленным переносом и проверять, согласован ли найденный во времени ответ с основным законом сохранения.

От двух уравнений к одному закону

Вывод начинается с уравнения для ψ и уравнения для комплексно-сопряжённой ψ*. В них присутствует один и тот же вещественный потенциальный член. После умножения на подходящие функции и вычитания этот член исключается. Остаётся выражение, которое можно переписать как производную |ψ|² по времени плюс дивергенцию векторной величины — тока. Алгебра выглядит сухо, но именно она не позволяет потоку быть произвольной красивой стрелкой на рисунке.

В современной записи плотность равна квадрату модуля волновой функции. Комплексная фаза при этом не пропадает бесследно: пространственное изменение фазы входит в ток. Если амплитуда в некоторой области велика, а фаза всюду одна и та же, плотность может быть заметной, но направленного тока не возникнет. Напротив, волна с плавно меняющейся фазой способна нести поток даже при постоянной по пространству плотности.

Простой пример даёт плоская волна с постоянной амплитудой и фазой, меняющейся вдоль одной оси. Плотность у неё одинакова везде, поэтому наивная картинка «где больше облако, туда и течёт» не работает. Однако градиент фазы задаёт ненулевой ток в определённом направлении. Такой пример не описывает связанный атом и не подменяет реальный опыт; он нужен лишь для разделения двух понятий, которые на иллюстрациях часто слипаются в один серый комок.

Нормировка и историческая осторожность

Если проинтегрировать плотность по некоторому объёму, изменение результата определяется потоком через его границу. Когда через границу нет чистого потока — например, для всей нормируемой системы при подходящем поведении функции на бесконечности, — интеграл сохраняется. Это математическая основа нормировки: полная величина остаётся равной единице, если она была так выбрана изначально.

Из сохранения интеграла не следует автоматическое решение всех интерпретационных вопросов. Уравнение непрерывности устанавливает строгий баланс величины, но не доказывает само по себе, какую философскую картину следует считать окончательной. Это похоже на бухгалтерскую книгу: она безупречно показывает, что приход и расход сходятся, но не рассказывает биографию каждого рубля.

Исторический контекст тоже требует точности. Шрёдингер связывал свои величины с непрерывным распределением электричества; позднейшую вероятностную трактовку нельзя бесшовно вложить в его собственный замысел как уже готовую позицию. Современные ρ и j чрезвычайно удобны в вероятностном языке, однако при чтении статьи 1926 года полезно отделять математический результат от последующих интерпретаций. Формула пережила спор лучше многих громких формулировок вокруг неё.