H-теорема Больцмана
H-теорема была попыткой статистически объяснить, почему неравновесный газ обычно движется к равновесию. Она не выводит необратимость из обратимой механики без дополнительных условий — именно в этой оговорке спрятана вся последующая драма.
Содержание статьи
Задача 1872 года
В статье 1872 года Больцман исследовал дальнейшие вопросы теплового равновесия между газовыми молекулами. Его задача была очень конкретной: связать бесчисленные столкновения с наблюдаемым направлением изменений в газе. Горячая и холодная части, оказавшись в контакте, обычно выравниваются; направленный перекос скоростей рассеивается; макроскопическая картина становится спокойнее. Откуда берётся эта привычная стрелка времени в мире, где отдельные механические столкновения можно обратить?
Для рассуждения вводилась величина H, построенная из распределения скоростей. В современной записи для непрерывного распределения её часто выражают через интеграл вида H = ∫ f ln f d³v, где f задаёт плотность молекул по скоростям. Смысл здесь важнее внешности формулы: при определённых статистических условиях столкновения меняют распределение так, что H не возрастает. Энтропия в принятой связи с H ведёт себя противоположно.
В той же линии работ Больцман применял дискретные энергетические уровни. Это был способ считать возможные состояния и обсуждать, почему одни распределения встречаются почти неизбежно, а другие требуют исключительной удачи. Позднейшее изложение особенно ясно формулирует идею: переход к равновесию понимается как уход от крайне маловероятных состояний к чрезвычайно вероятным. Слово «вероятный» здесь относится к числу доступных микроскопических способов реализовать один и тот же видимый результат.
Как сталкивающийся газ теряет перекос
Представим идеализированный разреженный газ, в котором молекулы сталкиваются попарно. До столкновения в некотором объёме может оказаться избыток частиц, летящих вправо, или необычно много очень быстрых частиц. После множества столкновений направления и скорости перераспределяются. Одно столкновение не обязано делать газ «более равновесным» в бытовом смысле, но средняя статистическая тенденция для распределения имеет определённый знак.
Это не рассказ о том, как газовая толпа морально устала от беспорядка. Равновесное распределение оказывается типичным потому, что ему соответствует несравненно больше микроскопических конфигураций, чем специальному перекосу. Состояние, где все молекулы случайно собрались в левом углу, механически не запрещено. Просто число способов получить его чудовищно мало по сравнению с числом способов выглядеть примерно равномерно.
У H-теоремы есть и техническое условие: перед столкновением состояния налетающих молекул берутся без специальных согласованных корреляций. Без такого условия переход от механики отдельных пар к статистическому уравнению не получается автоматически. Поэтому теорема описывает направление типичного развития подготовленного газа, а не выдаёт печать «никогда» на обратные последовательности столкновений.
Возражения попали в цель
Лошмидт в 1876 году сформулировал парадокс обратимости. Если законы столкновений обратимы во времени, то можно вообразить обращение всех скоростей системы: получившаяся механическая эволюция поведёт её от равновесия к прежнему неравновесному состоянию. Цермело в 1896 году добавил парадокс возвращений: для ограниченных механических систем возможны возвраты, которые осложняют картину вечного одностороннего роста энтропии.
Эти возражения не были школьной придиркой к знаку в формуле. Они били по чрезмерно сильному чтению H-теоремы — будто необратимость получается из одних обратимых уравнений без условий и исключений. Больцмановский ответ опирался на статистические аргументы: обратные или возвращающиеся случаи не запрещены механикой, но для макроскопического газа они невероятно нетипичны и требуют необычайно специальной микроскопической подготовки.
Отсюда и правильная мера результата. H-теорема не является абсолютным доказательством необратимости из чистой механики. Она показывает, как при заданной статистической предпосылке столкновения ведут распределение к равновесной форме. В этом ограниченном, но сильном виде работа изменила разговор о втором начале: вместо требования невозможности обратного события появилась задача оценить его вероятность и условия, при которых обычный ход событий действительно ожидаем.