Распределение Максвелла — Больцмана

Что распределяют в газе

Газ в сосуде с виду покоится, но внутри идёт круглосуточная давка без диспетчера. Молекулы летят во все стороны, сталкиваются друг с другом и со стенками, меняют скорость и направление. Поэтому фраза «скорость молекулы газа» без уточнения почти бесполезна: через мгновение та же частица уже будет двигаться иначе.

Распределение Максвелла — Больцмана заменяет невозможный список биографий всех молекул более осмысленным вопросом. Берут очень большое число частиц и делят их по интервалам скоростей: сколько движется медленно, сколько имеет среднюю скорость, сколько относится к редкому, но вполне реальному быстрому хвосту. Результатом служит закон распределения скоростей, а не закон движения одной выбранной молекулы.

Слово «равновесный» здесь работает как пропуск в нужную задачу. Газ уже не меняет своих наблюдаемых свойств сам по себе: температура и давление в среднем постоянны, нет устойчивого потока тепла от одной части сосуда к другой. На микроскопическом уровне покой отсутствует, зато статистический портрет сохраняется. Это похоже на многолюдную площадь: отдельные прохожие всё время меняются местами, но плотность толпы на участках может оставаться прежней.

От Максвелла к Больцману

Ранние работы Больцмана в Вене включали многошаговое обобщение максвелловского закона распределения молекулярных скоростей. В 1871 году он получил то, что теперь называют распределением Максвелла — Больцмана. Двойное имя не означает, что один учёный открыл формулу, а второй приписал к ней визитку; речь идёт о развитии общего кинетического способа видеть газ как множество молекул.

Удобно различать скорость как величину и её три компоненты: вдоль, поперёк и вверх по выбранным осям. В равновесном газе нет привилегированного направления, поэтому средняя энергия движения приходится на каждое пространственное направление одинаково. Это не значит, что каждая молекула обязана делить свою энергию на три аккуратные равные кучки. Равенство относится к среднему по множеству частиц и по времени.

Из этого статистического устройства возникает характерная форма распределения. Совсем медленных частиц немного: в трёхмерном пространстве у них слишком мало способов иметь почти нулевую скорость. Частиц с умеренными скоростями больше всего. Очень быстрые существуют, однако для них требуется большая кинетическая энергия, и их доля быстро убывает. У кривой есть вершина и длинный хвост, а не ровная полка, где все молекулы дисциплинированно летят с одинаковой скоростью.

Температура меняет портрет толпы

Температура в этой картине не является наклейкой «горячо» на весь сосуд. При большей температуре распределение смещается к большим скоростям и становится шире: растёт доля быстрых молекул, хотя медленные не исчезают по команде. Именно поэтому средняя скорость и наиболее вероятная скорость вообще не обязаны совпадать. Среднее чувствительно к редким очень быстрым участникам, а наиболее вероятная показывает вершину распределения.

Учебный пример полезен, если не выдавать его за исторический опыт Больцмана. В идеализированном сосуде без внешнего поля две порции одного и того же газа могут иметь одинаковую температуру, хотя наблюдатель, выбравший наугад молекулу, увидит у одной скорость ниже типичной, а у другой заметно выше. Противоречия нет: температура характеризует статистическое состояние, а не выдаёт каждой частице одинаковый энергетический паёк.

Связь этого закона с термодинамикой и была главным призом. Давление, температура и внутренняя энергия измеряются приборами как свойства целого газа; статистическое описание связывает их с движением атомов и молекул. Но формула не отменяет столкновения и не делает газ часовым механизмом с расписанием. Она сообщает, какие доли скоростей поддерживаются в равновесии после бесчисленных столкновений.

Чего закон не обещает

Распределение не позволяет выбрать одну молекулу и сказать, где она окажется через минуту. Для этого понадобились бы её начальные координаты, скорость, сведения обо всех будущих столкновениях и, по сути, вся газовая толпа целиком. Статистика здесь не уловка от незнания, а язык для вопроса другого масштаба: о свойствах множества, которые переживают смену отдельных траекторий.

Оно также не описывает любой газ в любое мгновение. Если сосуд только что соединили с вакуумной камерой, если в нём есть направленный поток или заметный температурный градиент, равновесная кривая может не подходить. Тогда предметом становится эволюция самого распределения скоростей — задача кинетического уравнения Больцмана. Равновесие не означает прекращения движения; оно означает устойчивость статистической формы этого движения.