Возражение Цермело и возвращения

Теорема, которая вернула газ назад

В 1896 году Эрнст Цермело сформулировал парадокс возвращений. Его отправной точкой был результат Анри Пуанкаре: механическая система возвращается сколь угодно близко к исходному состоянию бесконечно часто. В популярном пересказе этот факт иногда превращают в обещание, что стакан остывшего чая однажды сам станет горячим. Смысл теоремы тоньше, но для второго начала её укол действительно был болезненным.

Цермело рассуждал так: если механическая система способна вновь оказаться очень близко к прежнему состоянию, то состояние с меньшей энтропией не исключено навсегда. Следовательно, нельзя считать рост энтропии безоговорочным механическим правилом. Он заключал, что второе начало невозможно для механической системы. После возражения Лошмидта это была уже следующая проверка на прочность: сначала обратимость, затем возвращение.

Особая неприятность состояла в том, что опровергать сам результат Пуанкаре было бы неверным ходом. Теорема не просит верить в неё на основании бытовой интуиции и не исчезает от слов о больших числах. Она показывает, что механическая картина не даёт простого запрета на возврат к состояниям, напоминающим исходное. Значит, статистической физике требовалось объяснить не невозможность возврата, а его роль.

Редкое не становится типичным

Больцман не отрицал теоретический результат о возвращении. Его ответ был практическим и статистическим: время ожидания близкого возврата для макроскопической системы настолько велико, что такое событие практически ненаблюдаемо. Здесь «практически» не означает подправить теорему под удобный опыт. Это указание на разницу между тем, что допускает механика в принципе, и тем, что характеризует обычную эволюцию огромной системы.

Путь к равновесию остаётся типичным, потому что равновесным макросостояниям соответствует несравненно больше микроскопических вариантов. Системе не нужно выбирать между двумя равноправными дорогами — к порядку и к равновесию. Для случайного микроскопического состояния дорога к равновесию имеет колоссально больше способов осуществиться. Возврат не отменяет этого перевеса, как редкая выигрышная комбинация не превращает каждую сдачу карт в ожидаемый роял-флеш.

Важно и слово «близко». Теорема говорит о возвращении сколь угодно близко к исходному состоянию, а не о гарантированном бытовом повторе всех деталей в удобный срок. Она не снабжает наблюдателя расписанием и не превращает макроскопический процесс в маятник с коротким периодом. Именно время ожидания и типичность траекторий позволяют различать математическую возможность и ожидаемое физическое поведение.

Второе начало после Цермело

После этого спора второе начало нельзя без оговорок читать как запрет любой флуктуации или всякого обратного эпизода. Статистическое прочтение утверждает другое: чрезвычайно редкие возвращения совместимы с тем, что система почти всегда движется к равновесию. Слово «почти» здесь несёт всю нагрузку, но не делает закон слабым: оно связывает закон с масштабом и числом доступных микросостояний.

Можно представить сосуд с газом, уже равномерно заполнившим объём. Механические законы не вычёркивают из списка движений такое, при котором газ почти соберётся в одной области. Но для обычного наблюдения важнее не наличие этой строки в бесконечном списке возможностей, а её статистический вес и время ожидания. Второе начало описывает именно нормальный макроскопический ход, а не каталог всех фантастически точных исключений.

Возражение Цермело оказалось полезным именно потому, что заставило не прятать исключение под ковёр. Теорема Пуанкаре остаётся теоремой, возвращение остаётся допустимым, а термодинамическое направление остаётся типичным. Эти три утверждения не воюют между собой, если не требовать от статистического закона роли абсолютного запрета.