Некоммутативное умножение в ранней квантовой механике

Когда перестановка перестаёт быть безобидной

Для обычных чисел порядок множителей не имеет значения: 3×5 равно 5×3. Такая привычка настолько крепка, что её легко принять за закон природы, хотя это всего лишь свойство конкретной операции с конкретными объектами. В ранней квантовой механике возникли величины, для которых перестановка факторов уже меняла ответ: AB в общем случае не равно BA.

Это свойство называют некоммутативностью. Слово выглядит так, словно математика решила надеть парадный мундир ради простой мысли. Сама мысль действительно проста: операции нельзя безнаказанно менять местами. Содержательно сложнее другое — почему подобная алгебра появилась в описании атомов и почему она не оказалась произвольной экзотикой.

В исходном подходе Гейзенберга использовались квантуемые амплитуды вероятностей, связанные с переходами между состояниями. Такие величины естественно образуют некоммутативную алгебру. Здесь нет отдельного опыта, где прибор обнаруживает табличку «умножать слева направо». Оправдание шло через успех схемы в описании наблюдаемых свойств атомов, прежде всего спектральных закономерностей.

От рядов Фурье к матричному произведению

В Нобелевской лекции Гейзенберг выводил матричное произведение как квантовый аналог умножения рядов Фурье. В классической периодической задаче физическая величина может быть разложена на гармоники. При умножении двух таких разложений частоты складываются, а коэффициенты комбинируются по определённому правилу. В обычном случае все компоненты относятся к одному непрерывному движению.

В квантовом описании вместо гармоник, помеченных одной частотой, стоят компоненты, связанные парами стационарных состояний. При перемножении двух величин приходится учитывать промежуточное состояние. Элемент произведения, относящийся к переходу из состояния n в состояние m, складывается из вкладов через все допустимые промежуточные состояния k. В схематической записи это выглядит как сумма A(n,k)B(k,m).

Если поменять A и B местами, промежуточные вклады организуются иначе: появляется сумма B(n,k)A(k,m). Для чисел разница исчезла бы из-за коммутативности множителей; для матриц она обычно остаётся. Поэтому порядок не является косметикой записи. Он сообщает, какие действия или какие динамические величины стоят в формуле в какой последовательности.

Координата, импульс и границы образа

Классические параметры не исчезли из новой теории. Координате, импульсу, энергии и другим величинам поставили в соответствие матричные представители. В классической механике координата и импульс можно представить как числа, заданные для состояния системы в конкретный момент. В матричной механике их элементы связывают состояния, а их произведения несут информацию о композиции переходных возможностей.

Полезна грубая учебная аналогия с двумя операциями над предметом: сначала повернуть книгу, затем положить её на стол — не всегда то же самое, что сначала положить, а затем поворачивать. Аналогия не доказывает квантовую механику и не заменяет матриц; она лишь показывает, что некоммутативность не является логическим чудовищем. Порядок действий способен иметь последствия и вне мира чисел.

Нельзя, однако, читать из этого свойства больше, чем оно говорит. Некоммутативность ранней матричной механики не сообщает, что измерительные приборы непременно ломают атом при любом взгляде, и не сводится к популярной формуле о загадочности микромира. Это точное математическое свойство представителей физических величин. Его следствия раскрываются через полные уравнения и конкретные задачи, а не через одно эффектное слово.

Новая алгебра стала необходимой потому, что старая арифметика не могла выразить структуру квантовых переходов без потери содержания. В этом и состоит её историческая роль: порядок операций оказался включён в физическое описание атома, а не оставлен на усмотрение того, кто аккуратнее расставит скобки.